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对于一单输入单输出的传递函数 \[\label{tf}\tag{1} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_{n-1}s^{n-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}+d\] 将上式改写成 \[\begin{align} Y(s)&=\frac{b_{n-1}s^{n-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}U(s)+dU(s) \nonumber \\ &=(b_{n-1}s^{n-1}+\cdots+b_1s+b_0)\frac{U(s)}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}+dU(s)\label{sigma}\tag{2} \end{align}\] 定义\[\begin{align} \label{Xs}\tag{3} X(s)=\frac{U(s)}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0} \end{align}\] 则 \(\eqref{sigma}\) 可写为 \[\begin{align} \label{Ysadapt}\tag{4} Y(s) = (b_{n-1}s^{n-1}+\cdots+b_1s+b_0)X(s)+dU(s) \end{align}\]
现在来考虑 \(\eqref{Xs}\)。将其化为\[(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0)X(s)=U(s)\] 作拉氏反变换得\[\label{ilaplasex}\tag{5} x^{(n)}(t)+a_{n-1}x^{(n-1)}(t)+\cdots+a_1\dot{x}(t)+a_0x(t)=u(t)\] 定义状态变量\[x_1=x(t),x_2=\dot{x}(t),\dots,x_n=x^{(n-1)}(t)\] 则各状态变量导数是\[\begin{align} \dot{x}_1&=\dot{x}(t)=x_2\nonumber\\ \dot{x}_2&=x^{(2)}(t)=x_3\nonumber\\ \vdots\nonumber\\ \dot{x}_{n-1}&=x^{(n-1)}(t)=x_n\nonumber\\ \dot{x}_{n}&=x^{(n)}(t)=u(t)-a_0x(t)-a_1\dot{x}(t)-\cdots-a_{n-1}x^{(n-1)}(t)\label{gamma}\tag{6}\\ &=u(t)-a_0x_1-a_1x_2-\cdots-a_{n-1}x_n\nonumber \end{align}\] 其中 \(\eqref{gamma}\) 源于 \(\eqref{ilaplasex}\)。将上面式子组合成矩阵形式即为 \[\label{state}\tag{7} \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} \dot{x}_1\\\dot{x}_2\\\vdots\\\dot{x}_{n-1}\\\dot{x}_n \end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix} 0&\textcolor{red}{1}&0&\cdots&0\\ 0&0&\textcolor{red}{1}&\cdots&0\\ 0&0&0&\textcolor{red}{\ddots}&\\ &\vdots&&&\textcolor{red}{1}\\ -a_0&-a_1&-a_2&\cdots&-a_{n-1} \end{bmatrix}}_A\begin{bmatrix} {x}_1\\{x}_2\\\vdots\\{x}_{n-1}\\{x}_n \end{bmatrix} +\underbrace{\begin{bmatrix} 0\\0\\\vdots\\0\\1 \end{bmatrix}}_bu\] 这就是系统的状态方程。
现在来考虑 \(\eqref{Ysadapt}\)。同样作拉氏反变换得 \[y(t)=b_{n-1}x^{(n-1)}(t)+\cdots+b_1\dot{x}(t)+b_0x(t)+du(t)\] 利用上面定义的状态将其改写成 \[y(t)=b_{n-1}x_n+\cdots+b_1x_2+b_0x_1+du(t)\] 写成矩阵形式就是 \[\label{output}\tag{8} y=\underbrace{\begin{bmatrix} b_0&\cdots&b_{n-2}&b_{n-1} \end{bmatrix}}_c{\mathbf{x}}+[d]u\] 这就是系统的输出方程。\(\eqref{state}\) 与 \(\eqref{output}\) 共同构成了系统的状态空间描述。
考虑传递函数\[G(s)=\frac{as+b}{(s-\sigma)^2+\omega^2}\] 其中各系数均为实数。 考虑将其按两个单极点进行部分分式展开 \[G(s)=\frac{k_1}{s-(\sigma+\mathrm{j}\omega)}+\frac{k_2}{s-(\sigma-\mathrm{j}\omega)}\] \(k_1,k_2\)两个系数均为复数，需要满足\[\begin{cases} a=k_1+k_2=(\operatorname{Re}k_1+\operatorname{Re}k_2)+\mathrm{j}(\operatorname{Im}k_1+\operatorname{Im}k_2)\\ b=-k_1(\sigma-\mathrm{j}\omega)-k_2(\sigma+\mathrm{j}\omega) \end{cases}\] 由\(a\in\mathbf{R}\)，可知\(\operatorname{Im}k_1+\operatorname{Im}k_2=0\)，即\(k_2=k_1^\ast\)（互为复共轭）。令\(k_1=k\)，上式改写成 \[\begin{cases} a&=2\operatorname{Re}k\\ b&=-k(\sigma-\mathrm{j}\omega)-k^\ast(\sigma+\mathrm{j}\omega)=-k(\sigma-\mathrm{j}\omega)-(k(\sigma-\mathrm{j}\omega))^\ast\\ &=-2\operatorname{Re}(k(\sigma-\mathrm{j}\omega))=-2(\operatorname{Re}k\cdot\sigma+\operatorname{Im}k\cdot\omega) \end{cases}\] 将上面第一式代入第二式，再整理得\[\begin{cases} \operatorname{Re}k=\frac{1}{2}a\\ \operatorname{Im}k=-\frac{1}{2}\frac{a\sigma+b}{\omega} \end{cases}\] 则 \[G(s)=\frac{\frac{1}{2}\left(a-\mathrm{j}\frac{a\sigma+b}{\omega}\right)}{s-(\sigma+\mathrm{j}\omega)}+\frac{\frac{1}{2}\left(a+\mathrm{j}\frac{a\sigma+b}{\omega}\right)}{s-(\sigma-\mathrm{j}\omega)}\] 即 \[Y(s)=\frac{\frac{1}{2}\left(a-\mathrm{j}\frac{a\sigma+b}{\omega}\right)}{s-(\sigma+\mathrm{j}\omega)}U(s)+\frac{\frac{1}{2}\left(a+\mathrm{j}\frac{a\sigma+b}{\omega}\right)}{s-(\sigma-\mathrm{j}\omega)}U(s)\] 令\[Z_1(s)=\frac{1}{2}\frac{U(s)}{s-(\sigma+\mathrm{j}\omega)},Z_2(s)=\frac{1}{2}\frac{U(s)}{s-(\sigma-\mathrm{j}\omega)}\] 则可写出状态空间实现为（提出\(\frac12\)是为了最终的形式简单起见，没有本质影响） \[\dot{\mathbf{z}}=\begin{bmatrix} \dot{z}_1\\\dot{z}_2 \end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix} \sigma+\mathrm{j}\omega&0\\ 0&\sigma-\mathrm{j}\omega \end{bmatrix}}_A\begin{bmatrix} {z}_1\\{z}_2 \end{bmatrix} +\underbrace{\begin{bmatrix} 1/2\\1/2 \end{bmatrix}}_bu\] \[y=\underbrace{\begin{bmatrix} a-\mathrm{j}\frac{a\sigma+b}{\omega}&a+\mathrm{j}\frac{a\sigma+b}{\omega} \end{bmatrix}}_c{\mathbf{z}}\] 矩阵中含有复数值。为将其变为实数，考虑使用变换矩阵。
观察\(y\)的形式，会发现\(y\)等于一个系数乘以一个状态变量，再加上同一个系数的共轭乘以另一个状态变量。 因为\(y\)是实的，可以认为两个状态变量是“共轭”的。从状态方程中，两个状态相应于共轭的特征根也可以感受到这一点。 \(y\)的现有形式，其实等于系数的实部乘以状态变量的“实部”加上系数的虚部乘以状态变量的“虚部”（的两倍）。 如果能写成这样的形式，那么系数就都是实的了。因此，为了提取两个状态变量的“实部”和“虚部”，可以令新状态是 \[\begin{align} x_1&=z_1+z_2\\ x_2&=\mathrm{j}(z_1-z_2) \end{align}\] 那么变换就是 \[\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1\\\mathrm{j}&-\mathrm{j} \end{bmatrix}\mathbf{z}\] 将变换矩阵记为\(P\)并作用于原系统得到 \[\bar{A}=PAP^{-1}=\begin{bmatrix} 1&1\\\mathrm{j}&-\mathrm{j} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \sigma+\mathrm{j}\omega&0\\ 0&\sigma-\mathrm{j}\omega \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac12&-\frac12\mathrm{j}\\\frac12&\frac12\mathrm{j} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sigma+\mathrm{j}\omega&\sigma-\mathrm{j}\omega\\ \sigma\mathrm{j}-\omega&-\sigma\mathrm{j}-\omega \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac12&-\frac12\mathrm{j}\\\frac12&\frac12\mathrm{j} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sigma&\omega\\ -\omega&\sigma \end{bmatrix}\] \[\bar{b}=Pb=\begin{bmatrix} 1&1\\\mathrm{j}&-\mathrm{j} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1/2\\1/2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\] \[\bar{c}=cP^{-1}=\begin{bmatrix} a-\mathrm{j}\frac{a\sigma+b}{\omega}&a+\mathrm{j}\frac{a\sigma+b}{\omega} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac12&-\frac12\mathrm{j}\\\frac12&\frac12\mathrm{j} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&-\frac{a\sigma+b}{\omega} \end{bmatrix}\] 这样各矩阵就都是实矩阵了，便于分析。注意到\(\bar c\)（记录了两个状态加权得到\(y\)的系数）的确由原来系数的实部和虚部构成。
当然状态的变换还有别的取法。为了得到讲义上面的形式，取 \[\begin{align} x_1&=\mathrm{j}(z_2-z_1)\\ x_2&=z_1+z_2 \end{align}\] 那么变换后各矩阵是 \[\bar{A}=PAP^{-1}=\begin{bmatrix} -\mathrm{j}&\mathrm{j}\\1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \sigma+\mathrm{j}\omega&0\\ 0&\sigma-\mathrm{j}\omega \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac12\mathrm{j}&\frac12\\-\frac12\mathrm{j}&\frac12 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\sigma\mathrm{j}+\omega&\sigma\mathrm{j}+\omega\\ \sigma+\mathrm{j}\omega&\sigma-\mathrm{j}\omega \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac12\mathrm{j}&\frac12\\-\frac12\mathrm{j}&\frac12 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sigma&\omega\\ -\omega&\sigma \end{bmatrix}\] \[\bar{b}=Pb=\begin{bmatrix} -\mathrm{j}&\mathrm{j}\\1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1/2\\1/2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\] \[\bar{c}=cP^{-1}=\begin{bmatrix} a-\mathrm{j}\frac{a\sigma+b}{\omega}&a+\mathrm{j}\frac{a\sigma+b}{\omega} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac12\mathrm{j}&\frac12\\-\frac12\mathrm{j}&\frac12 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{a\sigma+b}{\omega}&a \end{bmatrix}\] 同样各矩阵都化为实矩阵。